10. Üs Ne Demek?

6. yazıda uyarmıştık: çarpma ile üstel büyümeyi karıştırma.

Çarpma: bir nesilde her ağaç 5 tohum → ağaç × 5. Üs: her nesilde aynı kat tekrarlanır → 5, 25, 125, ….

Biri ölçekler. Diğeri ölçeği tekrar tekrar uygular.

Aynı çarpmanın paketi

2 × 2 × 2 × 2 = 16

Dört kez 2’yi çarpmak. Kısa yazım:

2⁴ = 16

Taban 2, üs 4. Okunuş: “2 üzeri 4” - 2’yi 4 kez çarpanlara ayır.

Toplama → çarpma nasıl “tekrarlanan toplama” idiyse, çarpma → üs “tekrarlanan çarpma”dır.

Tanım (doğal üs)

a taban, n doğal üs:

a⁰ = 1          (a ≠ 0; sıfırın sıfırıncı güçünü şimdilik konuşmayacağız)
aⁿ⁺¹ = aⁿ × a

Yani: bir sonraki üs, bir öncekinin üzerine bir kez daha a çarpmaktır.

2¹ = 2⁰ × 2 = 1 × 2 = 2
2² = 2¹ × 2 = 2 × 2 = 4
2³ = 2² × 2 = 4 × 2 = 8
2⁴ = 2³ × 2 = 8 × 2 = 16

a⁰ = 1 garip gelebilir. Gerekçe tutarlılık: aⁿ⁺¹ / a = aⁿ zinciri n = 0’a inince a¹ / a = a⁰ → a / a = 1. Boş çarpımın “etkisiz” sonucu 1’dir - tıpkı boş toplamın 0 olması gibi.

Üç kural (ezber değil, sayma)

Aynı tabanlı çarpma:

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

Çünkü önce m kez, sonra n kez a - toplam m+n kez.

Üssün üssü:

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ

aᵐ’yi n kez çarpmak, a’yı m×n kez çarpmaktır.

Çarpımın üssü:

(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ

Her çarpanı n kez yazıp yeniden gruplamak.

Bunlar formül listesi değil. “Kaç kez çarptım?” sorusunun aritmetiği.

Çarpma ile üs yan yana

Aynı “2” farklı işler. Çarpımda ikinci çarpan. Üste üs.

Negatif üs: bölmeye dönüş

Kesir yazısından sonra bu kapı açılır:

a⁻ⁿ = 1 / aⁿ    (a ≠ 0)

Örnek: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

Gerekçe yine zincir: a³ × a⁻³ = a⁰ = 1 olmalı; o halde a⁻³, a³’ün çarpımsal tersidir.

Negatif üs “aşağı gitmek” değildir. Tersine çevirip pozitif üs almaktır.

Kesir üs? Henüz değil

a^(1/2) karekök olacak. Ama kökü tanımlamadan üssü oraya uzatmak boş konuşmak. Bir sonraki yazı kökü kuracak; o zaman 1/2, 1/3 üsleri anlam kazanacak.

Şimdilik: doğal (ve negatif tam) üs yeterli.

Nerede görünür?

Satranç tahtası efsanesi: her karede bir öncekinin iki katı pirinç. 64. karede 2⁶³ tane - dünya yetmez. Üstel büyüme böyle hisseder.

Hücre bölünmesi, faiz (basit değil bileşik), bilgisayarda bit: 2¹⁰ = 1024 ≈ “1K”. Hepsi aynı paket: aynı çarpmanın tekrarı.

Sen dene

Tanımdan 3³’ü adım adım aç. Sonra 2³ × 2²’yi iki yoldan hesapla: doğrudan çarp, bir de 2^(3+2) de. Aynı mı?

Son

Üs, çarpmanın tekrarıdır. aⁿ, tabanı n kez çarpanlara ayırır. a⁰ = 1 boş çarpımın etkisizidir.

Kurallar “kaç kez?” saymaktan gelir. Negatif üs, çarpımsal tersdir.

Çarpma kattı. Üs, katların peş peşe binmesidir.

Sırada ters soru var. “Hangi sayı kendisiyle çarpılınca buna varır?” - kök.