9. Kesir Ne Demek?

8. yazıda kalanla kaldık: 11 = 2 × 5 + 1. Doğal sayıda cevap bu.

Ama “herkese eşit, yarım da olur” diyorsan artık başka bir şey istiyorsun. Cevabı sayı olarak istiyorsun. O sayı kesirdir.

Pasta metaforunun sınırı

Bir pastayı ikiye bölersin: her dilim 1/2.

Bu görüntü işe yarar. Ama kesri sadece “parça” sanırsan ileride kilitlenirsin.

3/2 pastanın bir buçuk dilimi midir? Evet. Ama aynı zamanda şudur: “yarım pastayı birim alırsam, üç birim.”

Kesir, pastayı parçalamak zorunda değildir. Ölçü çubuğunu inceltmektir.

Yeni birim: 1/b

Doğal sayıda birim 1’di. Ardıl: 0, 1, 2, 3…

Şimdi b eşit parçaya bölünmüş bir birim düşün. Her parça 1/b.

a/b demek: bu yeni birimden a tane al.

3/4 = 1/4 + 1/4 + 1/4

Pay a: kaç tane. Payda b: birimi kaça böldün (b ≠ 0).

Bölme yazısındaki iki okuma burada birleşir:

• 6/2 = 3 → tam bölündü, yeni birime gerek kalmadı gibi durur
• 1/2 → birim ikiye indi

İkisi de aynı dil: a/b, “b ile ölçünce a”dır.

Neden 1/2 = 2/4?

Pasta dilimlerini sayarsan “farklı” görünür. Ölçü olarak aynıdır.

Çarpraz çarpım:

1/2 = 2/4   çünkü   1 × 4 = 2 × 2

Genel: a/b = c/d ancak ve ancak a × d = b × c (b, d ≠ 0).

Sadeleştirme, aynı uzunluğa daha sade isim vermektir. 6/8’i 3/4 yapmak, sayıyı değiştirmez; adı temizler.

Kesirle dört işlem (sezgi)

Toplama: aynı payda gerekir. Çünkü aynı birimle topluyorsun.

1/3 + 1/3 = 2/3
1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

Farklı paydalar = farklı birimler. Ortak payda, birimleri hizalamaktır.

Çarpma: “bunun kadarının şu kadarı.”

(2/3) × (1/2) = 2/6 = 1/3

İki ölçeği peş peşe uygularsın. Pasta metaforu: yarım pastanın üçte ikisi.

Bölme: tersine çevirip çarp - ama gerekçe ezber değil.

a/b ÷ c/d = a/b × d/c    (c ≠ 0)

Çünkü bölme yine ters soru: “neyi c/d ile çarparsam a/b olur?” Cevap d/c katıdır.

Oran: kesrin sosyal hayatı

Tarif: 3 su, 1 pirinç. Oran 3 : 1, kesir olarak 3/1.

İki katı: 6 su, 2 pirinç. Kesir aynı: 6/2 = 3/1.

Yüzde, paydası 100’e sabitlenmiş orandır. %25 = 25/100 = 1/4. Yeni mucize değil; aynı dilin kıyafeti.

Rasyonel sayılar

ℚ = { a/b | a, b tam sayı, b ≠ 0 }

(Aynı sayının birçok yazımı var; 1/2 ile 2/4 aynı nokta.)

5. yazıda haritayı çizmiştik. Gerekçe şimdi net: çarpmanın tersi her zaman tam sayıda yaşamaz; kesir o cevabı içeri alır.

Rasyonelde, sıfıra bölme hariç, dört işlem kapanır. Topla, çıkar, çarp, böl - sonuç yine rasyonel.

Kalan ile bağ

11 ÷ 2 kalanlı: bölüm 5, kalan 1. Kesir olarak: 11/2.

İkisi çelişmez. Biri “paket + artık”, diğeri “tek sayı”. Karışık sayı yazımı köprüdür:

11/2 = 5 + 1/2 = 5½

Kalan 1, paydadaki 2’ye göre 1/2 oldu. Kalan, kesrin payına dönüşebilir - birim değişince.

Sen dene

2/5 ile 3/7’yi topla (ortak payda). Sonra 2/5 = ?/20 diye denk kesir bul. İkisi de aynı fikri kullanır: birimi hizalamak.

Son

Kesir pasta dilimi değildir. Ölçü birimini 1/b yapmak, ondan a tane almaktır.

Eşitlik çarpraz çarpımdır. Toplama aynı birimi ister. Oran ve yüzde aynı dilin kılıklarıdır.

Doğal sayıda kalan vardı. Rasyonelde cevap sayıdır.

Ama her uzunluk bir a/b midir? Kenarı 1 olan karenin çaprazı hayır der. Oraya üç adım var: üs, kök, sonra irrasyonel.

Sırada çarpmanın tekrarı: üs. Büyümenin ikinci vitesi.