11. Kök Ne Demek?

Çıkarma toplamaya, bölme çarpmaya yaslanıyordu. Kök de üsse yaslanır.

√9 = 3    çünkü    3² = 9

Başka ezber yok. Kök, “neyin üssü buna eşit?” sorusudur.

Karekök: alanın kenarı

Kenarları eşit bir kare düşün. Alan 9 ise kenar kaç?

Çarpma alanı doğuruyordu (3 × 3 = 9). Karekök, alandan kenara dönüştür. Geometri ile aritmetik aynı kapıdan girer.

Tanım

n. dereceden kök:

ⁿ√a = b    ancak ve ancak    bⁿ = a

En sıkı iki hâl:

• Karekök (n = 2): √a = b ↔ b² = a
• Küpkök (n = 3): ∛a = b ↔ b³ = a

√16 = 4 çünkü 4² = 16. ∛8 = 2 çünkü 2³ = 8.

İşaret meselesi

(-3)² = 9 de. O halde 9’un karesi hem 3 hem −3 mü?

Evet, denklem olarak: x² = 9 → x = 3 veya x = −3.

Ama sembol √9 asal (principal) karekök demektir: negatif olmayan olan. Yani √9 = 3, −√9 = −3.

Okul bazen bunu karıştırır. Ayrım basit:

• √ sembolü → tek, ≥ 0 cevap
• x² = a denklemi → (a > 0 ise) iki cevap

Her sayının karekökü var mı?

Doğal / rasyonelde hayır.

√2 için hiçbir a/b yoktur ki (a/b)² = 2 olsun. Bunu bir sonraki yazıda göstereceğiz - sezgi şimdilik yeter: 1² = 1, 2² = 4; ikisinin arası “tam kare” değil.

√(−1) ise henüz bu evrende yok. Negatifin karekökü için ileride başka bir genişleme gerekecek (karmaşık sayılar). Şimdilik: karekökü negatif olmayan sayılarda arıyoruz.

Küpkök farklı: (-2)³ = −8, yani ∛(−8) = −2. Tek üslerde negatif taban yaşar.

Kök ve kesir üs

10. yazıda kapıyı aralamıştık. Şimdi kilit uyuyor:

a^(1/2) = √a
a^(1/n) = ⁿ√a
a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ = ⁿ√(aᵐ)

(Uygun a ≥ 0, pozitif tam n şartlarıyla.)

Gerekçe: (a^(1/2))² = a^(1/2 × 2) = a¹ = a. Yani a^(1/2), karesi a olan sayı - tam karekök tanımı.

Kesir üs, kök ile üssü tek dile bağlar. “Üzeri yarım” mistik değildir; kökün üs dilindeki adıdır.

Basit kurallar

√(a × b) = √a × √b     (a, b ≥ 0)
√(a²) = |a|

İkincisi önemli: √( (−3)² ) = √9 = 3, ham −3 değil. Mutlak değer, asal kökün ≥ 0 kalmasını sağlar.

√a + √b ≠ √(a+b)

Bu yanlışlık yaygındır. Alanların kenarları toplanmaz; alanlar toplanır ama kenar formülü o değil.

Kök ile kalan/kesir köprüsü

√9 temiz. √10 tam sayı değil; rasyonel de değil (sonraki yazı). Yine de yaklaşık konuşulur: 3² = 9, 4² = 16 → √10 3 ile 4 arasında.

Bu “arasında”, sayı doğrusunun dolması ihtiyacını hissettirir. Rasyoneller delikli midir? Bir anlamda evet - kökler bazı delikleri işaret eder.

Sen dene

√49 nedir, hangi üs cümlesiyle doğrularsın? Bonus: √(9 × 4) ile √9 × √4 aynı mı? Hesapla.

Son

Kök, üssün ters sorusudur. √a, karesi a olan (asal, ≥ 0) sayıdır.

Alan → kenar. a^(1/n) aynı fikrin üs dilidir.

Her pozitif sayının rasyonel karekökü yoktur. √2 kapıyı zorlar.

Sırada o kapı: irrasyonel. Kesirle yazılamayan uzunluk - ve sayı doğrusunun neden “doldurulması” gerektiği.