12. İrrasyonel Ne Demek?

9. yazıda rasyonel evren kapanmış gibi duruyordu: dört işlem, sıfır hariç, içeride kalıyordu.

Sonra kök sordu: √2 hangi a/b?

Cevap: hiçbiri.

Karenin çaprazı

Kenarları 1 olan kare. Çapraz d olsun. Pisagor (sezgiyle, ispatı geometride gelecek):

d² = 1² + 1² = 2
d = √2

Cetvelle çizersin; uzunluk oradadır. Ama “şu kesir” diye gösteremezsin. Varlık ile ad ayrılır.

√2 neden a/b olamaz? (kısa ispat)

Diyelim oldu: √2 = a/b, kesir sade (a ile bnin ortak böleni yok), b ≠ 0.

Kare al: 2 = a² / b² → a² = 2 b².

O halde a² çift → a çift (tek sayının karesi tektir). a = 2k yaz.

(2k)² = 2 b²
4k² = 2 b²
2k² = b²

b² çift → b çift.

Hem a hem b çift. Ama kesir sade idi - ortak bölen 2 olmamalıydı. Çelişki.

O halde böyle a/b yoktur.

Bu, “hesap makinesi √2’yi vermiyor” demek değildir. Hiçbir kesir eşit değildir demektir. Yaklaşabilirsin: 7/5 = 1.4, 17/12 ≈ 1.416, 99/70 ≈ 1.41428… gittikçe sıkı; eşitlik asla.

İrrasyonel ne demek?

Rasyonel: a/b diye yazılabilen. İrrasyonel: yazılamayan.

√2, √3, √5 (tam kare olmayan pozitif tamların karekökleri), π, e… irrasyoneldir. (π ve e’nin ispatı daha ağır; şimdilik “kesirle bitmez” bilgisini taşıman yeter.)

İsim yanıltmasın: “irrasyonel” mantıksız demek değildir. Oran-dışı demektir - iki tam sayının oranı değil.

π: çemberin inatçılığı

Çemberde çevre / çap her çemberde aynı orandır. O oran π.

çevre = π × çap

22/7, 355/113 iyi yaklaşımlardır. Eşitlik değildir. Çember, rasyonel dünyanın dışında bir sabit taşır.

Sayı doğrusu delikli miydi?

Rasyoneller sayı doğrusunda yoğundur: iki rasyonel arasında hep başka rasyonel vardır.

Ama yine de boşluk vardır. √2’nin oturduğu nokta, hiçbir rasyonelin adresi değildir.

Yoğunluk ile tamlık farklı şeylerdir. Rasyonel yoğun, tam değil. Her Cauchy dizisinin (istediğin kadar birbirine yaklaşan dizinin) limiti rasyonelde olmak zorunda değildir: 1, 1.4, 1.41, 1.414, … rasyonel adımlardır; limit √2 dışarıdadır.

Reel sayılar

Boşlukları da içeri al. Doğru üzerindeki her nokta bir sayı olsun. Buna reel sayılar denir:

ℝ ⊃ ℚ

Her rasyonel reeldir. Her reel rasyonel değildir. İrrasyoneller, ℝ \ ℚ farkıdır.

5. yazıdaki harita tamamlanır:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

• ℕ: saymak
• ℤ: borç / geri gitmek
• ℚ: paylaşmak / oran
• ℝ: uzunluk / süreklilik

Her katman bir tıkanıklığa cevaptı. İrrasyonel, kökün ve çemberin tıkanıklığıdır.

“Sonsuz ondalık” tuzağı

1/3 = 0.333… de sonsuz ondalıktır ama rasyoneldir. Tekrarlayan blok.

√2 = 1.41421356237… sonsuzdur ve tekrarlamayan bir desendir (rasyonellerin ondalığı ya biter ya da döngüye girer).

Sonsuz ondalık ≠ irrasyonel. Tekrarlamayan (ve bitmeyen) ondalık → irrasyonel. Ayırım bu.

Bu beş yazının özeti

Kalan, kesir, üs, kök, irrasyonel. Aritmetiğin üzerine şunları ördük:

8. kalan - temiz bölünmeyenin dili
9. kesir - birimi inceltmek
10. üs - çarpmanın tekrarı
11. kök - üssün tersi
12. irrasyonel - kesirin yetmediği uzunluk; ℝ

Dört işlem artık sadece işlem değil. Sayı evreninin neden kat kat genişlediği görünür oldu.

Sen dene

√4 rasyonel mi, √5 mi? Birini kesirle yaz; diğerinin neden yazılamayacağını (√2 ispatındaki fikirle) bir cümlede söyle. Bonus: 22/7 neden π değildir?

Son

İrrasyonel, “saçma sayı” değil. Oran olarak yazılamayan uzunluktur. √2 ispatı bunu çelişkiyle mühürler.

Rasyoneller yoğun ama delikli. Reel sayılar doğruyu doldurur.

Aritmetiğin kapanış fazı burada biter. Sırada dil değişir: eşitlik, denklem, değişken - bilineni değil, bilinmeyeni adlandırma. Cebirin doğuşu.