4. Eksiltmek Ne Demek?

Toplamak, varlığı biriktirmekti. Filmi ileri sarmak.

Peki eksiltmek, varlığı yok etmek midir?

Bir çocuğun elinden bir elma alırsan “bir eksi bir elma” mı kalır? Hayır. Elinde sıfır elma kalır.

Eksiltme yok etmek değildir. Aynı filmi geri sarmaktır.

Çıkarma neyi sorar?

Çıkarma şunu sorar: b’ye ne eklesem a olur?

Yani çıkarma, yeni bir işlem gibi durur ama aslında toplamanın ters sorusudur.

Tanım:

a - b = c   ancak ve ancak   a = b + c

Ama dikkat: bu, doğal sayılarda her çift için bir işlem vermez. a - b ancak a = b + c olacak bir doğal sayı c varsa tanımlıdır. Yoksa sorunun cevabı bu evrende yoktur.

5 - 2 nedir?

2 + ? = 5

2 + 3 = 5, o halde 5 - 2 = 3.

Başka bir şey ezberlemen gerekmiyor. Çıkarma, “hangi sayıya eklersem oraya varırım?” sorusudur. Cevap doğal sayılarda yoksa işlem orada tanımsızdır.

Peano’da çıkarma neden doğuştan yok?

Toplamayı iki satırla kurmuştuk, çünkü elimizde 0 ve S vardı. İleri gitmek ucuzdur. Her sayının bir ardılı vardır.

Geri gitmek aynı şekilde garanti değildir. 0’ın öncülü yoktur: hiçbir n için S(n) = 0 değildir. Zincir geriye doğru aynı güvenceyle uzamaz.

Doğal sayılarda çıkarma temel bir işlem olarak verilmez. İstersek onu toplama üzerinden tanımlarız. Üstelik bu tanım her a, b çifti için sonuç vermek zorunda değildir. Aksiyom eksikliği değil; seçtiğimiz evrenin sınırı.

İki satırlık geri yürüyüş

Toplamaya benzeyen, ama geri çalışan bir çift kural da yazılabilir:

a - 0 = a
S(a) - S(b) = a - b

Birinci: sıfır adım geri sararsan aynı karede kalırsın. İkinci: iki tarafı da birer adım geri alırsan fark değişmez. 8 ile 5’in farkı, 7 ile 4’ün farkıyla aynıdır.

Bu geri yürüyüş ancak sonuç doğal sayıda kaldığı sürece devam eder. 2 - 5 için S(1) - S(4) = 1 - 4 diye inersen sonunda 0 - 3 gibi bir yere varırsın; orada doğal sayılarda tanım durur.

5 - 2 yine:

5 - 2
= S(4) - S(1)
= 4 - 1
= S(3) - S(0)
= 3 - 0
= 3

İki tarafı birlikte küçültüyorsun, ta ki çıkarılan 0 olana kadar. Kalan, cevap.

Sayı doğrusunda aynı hareket:

3 - 5 neden bu evrende yok?

3 - 5 = c demek, 5 + c = 3 demektir.

Doğal sayılarda 5’in üzerine bir şey ekleyip 3’e inemezsin. İleri giden bir makine küçülmez.

O yüzden Peano evreninde 3 - 5 tanımsızdır. Sistem bozulmaz. Sadece sorduğun sorunun cevabı bu evrende yoktur.

Bu, matematiğin “yasağı” değil. Sınırıdır. Sınır görünce iki şey yapabilirsin:

• Soruyu sormayı bırakırsın. “Doğal sayılarda çıkarma her zaman yok.”
• Evreni genişletirsin.

Matematikte ikincisini yaptık: evreni genişlettik.

“3 elmam var, 5 veremem” cümlesi ile “2 elma borcum var” cümlesi aynı hesabın iki dilidir. İkincisini sayı diye kabul edince 3 - 5 = -2 yazılabilir olur.

Buna tam sayılar diyeceğiz:

ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

0 hâlâ denge. Sağı varlık, solu borç. Çıkarma bu evrende her zaman mümkündür.

Bu yazının işi tam sayıları kurmak değil. Sadece şunu göstermek: çıkarma doğal sayılarda her kapıyı açmaz. Açılmayan kapı, bir sonraki evrenin gerekçesidir.

Çıkarma silmek değil, kalanı görmektir

“Bir şeyi çıkarıyorum” dediğinde aslında “neyin kaldığını” soruyorsun.

Rafta 7 kitap var, 2’sini alıyorsun. İşlem 2 kitabı yok etmek değil. Rafta 5 kaldığını görmektir.

Bu yüzden çıkarma, varlığa yeni bir bakış açısıdır. Toplama “ne kadar oldu?” diye sorar. Çıkarma “ne kadar kaldı?” diye sorar.

İkisi de aynı çizginin iki yönüdür:

Denge

Şu özdeşlik, çıkarma ile toplamanın kardeş olduğunu tek satırda söyler:

a + b - b = a

Eklediğini geri alırsan başa dönersin. Film ileri, film geri. Aynı kare.

Bu bir aksiyom değil. Çıkarmayı toplamanın tersi olarak tanımladığımız için, tanımın geçerli olduğu yerde bu eşitlik ortaya çıkar.

Gündelik hayatta da aynı hareketi yaparız. Bardağı doldururken durmak, bir süre yürüyüp geri dönmek, sesi kısmak. Hepsi “yeter” demektir. Toplamak “daha fazla”, çıkarmak “yeteri kadar”.

Metaforun sınırı: yerçekimi “çıkarma”, genişleme “toplama” değildir. Matematikteki denge işlem tanımının dengesidir; fiziği buraya zorlamıyoruz.

Sen dene

Doğal sayılarda 4 - 1 nedir? Ya 2 - 5? İkincisi için “yok” mu yoksa “eksi bir şey” mi diyeceksin, hangi evrende konuştuğuna bağlı.

Son

Toplamak biriktirir. Çıkarmak ayıklar. Biri varlığı genişletir, diğeri varlığın sınırını sorar.

Doğal sayılarda bu sorunun her zaman cevabı yoktur. Cevap yoksa ya susarsın ya evreni büyütürsün. Eksi sayılar ikinci yoldan doğar.

Sırada bu iki işlemi tek bir dünya gibi göreceğiz. Sayı artık sadece 0, 1, 2 değil. Borç da girecek, pay da girecek. Aritmetik evren genişleyecek.