5. Sayıların Dünyası

Şimdiye kadar taşları koyduk, sıfırı tanıdık, toplamayı kurduk, çıkarmanın nerede tıkandığını gördük.

Bu yazıda yeni bir işlem icat etmiyoruz. Evrenin haritasını çıkarıyoruz. Çünkü bir sonraki adımlarda (çarpma, bölme) hangi kümede konuştuğumuzu karıştırırsak her şey çöker.

Sayı nedir, gerçekten?

1, 2, 3 diye sayıyoruz ama aslında neyi sayıyoruz? Elma, taş, kuş, fikir… fark etmiyor.

Sayı, nesnenin kendisi değildir. Nesnelerin karşılaştırılabilir yanıdır.

Bir elma varsa “1”. Bir tane daha varsa “2”. “2”, o iki elmanın ortak özelliği değil. Senin uyguladığın ölçü.

İki elmayı yan yana koyunca “ikilik” diye bir cisim doğmaz. Zihin, “kaç tane?” sorusuna aynı cevabı verir. O cevap sayıdır.

Bu yüzden sayıya dokunamazsın. Elmaya dokunursun. “Bir”e dokunamazsın.

Doğal sayılar: sadece ileri

Peano zinciri:

0 -> 1 -> 2 -> 3 -> ...
ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}

Bu evrende:

• Toplama her zaman vardır.
• Çıkarma her zaman yoktur. 3 - 5 yok.
• “En küçük” vardır: 0.
• “En büyük” yoktur. Her sayının bir sonrası vardır.

Doğal sayılar saymak için yeter. Borç için yetmez. Paylaşmak için de yetmez.

Tam sayılar: geri de gidebilmek

Çıkarma tıkanınca evreni genişlettik. Negatifleri içeri aldık.

ℤ = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Bunlara tam sayılar denir. Integer. Kesirsiz, ama işaretli.

Sezgi borçtur. “-3 elma”yı göremezsin. “3 elma borcum var”ı anlarsın. Banka hesabı eksiye düşünce de aynı şey olur. Kimse “eksi lira”yı cebinde taşımaz. Bilanço taşır.

Bu evrende:

• Toplama var.
• Çıkarma her zaman var. 5 - 7 = -2.
• 0 hâlâ denge noktasıdır.
• En küçük sayı yoktur. Negatif tarafta da sonsuza gidilir.

Dikkat: doğal sayılar kaybolmadı. ℕ, ℤ’nin içinde durur. Yeni evren eskisini çöpe atmaz, onu kapsar.

ℕ ⊂ ℤ

0, 1, 2 hâlâ oradadır. Sadece artık sol taraf da vardır.

Neden “eksi elma” yemek zorunda değiliz?

İnsanlık uzun süre negatif sayılara şüpheyle baktı. Anlaşılır. Göz, eksi üç elma görmez.

Ama matematik gözün gördüğünü değil, işlemin tuttuğunu önemser. Çıkarmayı her çift için tanımlamak istiyorsan negatif kaçınılmazdır.

Bir denklem:

x + 5 = 3

Doğal sayılarda çözülmez. Tam sayılarda x = -2.

Yani negatif, “garip bir süs” değil. Eski soruların cevabının sığması için açılan yerdir.

Kesirler: tam olan yetmeyince

Bir elmayı ikiye böldün. Elde kalan “1 elma” değil, “2 elma” da değil. Yarım.

Tam sayılar burada susar. 1 ile 2 arasında başka tam sayı yoktur. Ama yarım oradadır.

Bunu içeri almak için rasyonel sayıları kurarız. Kesirler.

ℚ = { a/b  |  a bir tam sayı, b sıfır olmayan bir tam sayı }

1/2, 3/4, -7/3, 5/1… 5 de rasyoneldir, çünkü 5 = 5/1.

Yani yine kapsama:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ

Kesir neyi söyler? Bütünün paylara ayrılabilir olduğunu.

2 ekmek, 4 kişi. Herkese 2/4 = 1/2. Sayı artık sadece “kaç tane” değil, “ne oran”dır da.

Aynı kesir, birçok kılık

1/2 ile 2/4 ile 3/6 aynı noktadır. Farklı yazılır, aynı miktardır.

Bu yüzden rasyonel sayı “bir kesir yazısı” değildir. Kesir yazılarının denk olduğu sınıftır.

Okulda sadeleştirme diye ezberletilen şey budur. 2/4’ü 1/2 yazmak, yeni bir sayı üretmek değil. Aynı sayının daha sade adını seçmektir.

Üç katman, tek motor

Şu an elimizde üç katman var:

Harita olarak:

“Bazı uzunluklar” kısmını şimdilik askıya al. Kenarı 1 olan karenin çaprazı rasyonellere sığmaz. O kapı ileride açılacak. Adı irrasyonel. Acelemiz yok.

Bu üç katmanın ortak motoru hâlâ aynı:

bir şey ekleyebilirim, bir şey geri alabilirim, bazen bir şeyi paylara bölebilirim.

Yeni küme, yeni kapris için açılır. Uydurmak için değil.

Aritmetik bir dil midir?

2 + 3 = 5 bir cümledir.

Özne 2, eylem “3 ekle”, sonuç 5. Cümle doğruysa aksiyomlara ve tanımlara uyar. Yanlışsa uymaz.

Bu yüzden aritmetik “hesap makineli marifet” değildir. Düşünceyi bağlama biçimidir. Cümleyi kurarsın, kural tutuyorsa geçersin.

Okul bunu ters öğretir. Önce tablo, sonra kural, hiç aksiyom. Bu seride tersini yapıyoruz. Önce kural, tablo zaten çıkar.

Sayı icat mı, keşif mi?

Bu soruyu herkes bir kez soruyor. Ben de net bir kamp seçmeyeceğim.

Gün geceyi kovuyor, adımlar birikiyor, iki elma ile üç elma beş oluyor. Bu ritmi biz uydurmadık. Biz sadece ona isim verdik.

İsimler bizim. İlişki orada duruyor gibi. “Sadece icat” dersen abartırsın. “Sadece keşif” dersen de abartırsın. İkisi birden işliyor: biz adlandırıyoruz, adlandırdığımız şey tutuyor.

Pratikte önemli olan şu: sayıyı doğru kurarsan, kurduğun sistem kendi içinde yalan söylemez. Gerisi felsefe sohbeti; akşam çayında konuşulur.

Sen dene

Şu üç soruyu hangi kümede cevaplayabilirsin?

1. 2 + 3
2. 2 - 5
3. 1 elmayı ikiye bölünce her parçanın adı

Son

Aritmetik, evreni anlamlandırmanın ilk düzenidir. Hesap onun yan ürünüdür.

Doğal sayılar sayar. Tam sayılar dengeyi taşır. Rasyonel sayılar payı taşır.

Hâlâ eksik yerler var. Çarpma henüz resmi olarak yok. Bölme yok. İrrasyonel yok. Sonsuzun ciddi tanımı yok.

Sırada büyüme var. Aynı şeyi defalarca toplamanın kısa adı: çarpma.