3. Toplamak Ne Demek?

Elinde 2 elma var. 3 elma daha veriyorum. 5 oluyor. Bunu her çocuk yapar.

Soru şu: matematikte “+” işareti gökten mi indi, yoksa elimizdeki kurallardan mı çıktı?

Gökten inmedi. Biz tanımlayacağız.

Toplama neyi sorar?

Toplama şunu sorar: bir miktarın üzerine başka bir miktarın adımlarını yürüsem, neredeyim?

2’nin üzerine 3 adım:

Son durak 5. O yüzden 2 + 3 = 5.

Toplama, iki yığını birbirine yapıştırmak gibi durur. Aslında daha mekanik bir şeydir: bir sayının ardıl makinesini, diğer sayı kadar çalıştırmak.

Tanım: iki satır

Peano evreninde elimizde sadece 0 ve S vardı. Toplamayı bunların üzerine kuruyoruz. Başka hiçbir şey kaçırmıyoruz.

a + 0 = a
a + S(b) = S(a + b)

Birinci satır: bir şeye hiç eklemezsen, o şey durur. Sıfır yazısının bütün anlamı burada.

İkinci satır: b’nin bir sonrasını eklemek, önce b’yi ekleyip bir adım daha atmaktır.

Bu kadar. Bütün toplama tablosu bu iki satırın tekrarından çıkar.

2 + 3’ü açalım

Sayıları ardıl olarak yazalım:

1 = S(0)
2 = S(1) = S(S(0))
3 = S(2) = S(S(S(0)))

Şimdi 2 + 3:

2 + 3
= 2 + S(2)
= S(2 + 2)
= S(2 + S(1))
= S(S(2 + 1))
= S(S(2 + S(0)))
= S(S(S(2 + 0)))
= S(S(S(2)))
= S(S(3))
= S(4)
= 5

Evet, sıkıcı. Sıkıcı olması iyi. Sihir yok. 2 + 3 = 5 bir inanç değil, bu makinenin çıktısı.

İlk kez gören “neden bu kadar dolandık?” der. Çünkü “3 kere ileri say” demek ile “ardıl tanımını uygula” demek aynı işin iki dilidir. İkincisi, makinenin içini gösterir.

Film analojisi

Bir filmi ileri sarmak, toplamaktır.

Başlangıç karesi a. b kare ileri sararsan a + b karesindesindir. 0 kare ileri sararsan aynı karede kalırsın. Bir kare daha ileri sarmak, S demektir.

Bu analojiyi tut. Bir sonraki yazıda filmi geri saracağız. Ona çıkarma diyeceğiz.

Toplama yön değiştirmez, yer değiştirir

2 + 3 ile 3 + 2 aynı yerde biter. Buna değişme (komütatiflik) denir.

Sezgi basit: 2 adım atıp 3 daha atmak ile 3 atıp 2 atmak, yolun uzunluğunu değiştirmez.

Ama tanıma bak:

a + 0 = a
a + S(b) = S(a + b)

İkinci satır hep sağdaki sayıyı büyütüyor. Sol ile sağı takas etmek tanıma yazılı değil. Yani a + b = b + a bedava gelmez.

Sonsuz sayı var; tek tek bakamayız. 1. yazıdaki alet: tümevarım (domino). İki kapı:

1. Taban: 0 için doğru mu?
2. Adım: bir sayı için doğruysa, bir sonrası için de doğru mu?

İkisi tutarsa zincir sonsuza gider.

Önce bir yardımcı: 0 + n = n

Tanım “sağa 0 ekle” diyor. 0 + n ise “sola 0 koy”. Otomatik değil.

Taban. 0 + 0 = 0. Doğru.

Adım. 0 + k = k biliyorsak:

0 + S(k) = S(0 + k) = S(k)

Bir sonraki için de doğru. Domino. Her n için 0 + n = n.

Değişme, somut

Aklında a = 2 tut. b üzerinde domino kur: her b için 2 + b = b + 2 mi?

Taban. b = 0:

2 + 0 = 2
0 + 2 = 2

(İkinci satır: az önceki yardımcı.) Aynı. Başlangıç tuttu.

Adımın fikri. Diyelim 2 + b = b + 2 doğru. İki tarafa da bir adım eklemek, yine aynı yerde bitirir. Çünkü:

• sağa bir eklemek: 2 + S(b) = S(2 + b) (tanım)
• varsayımımız yüzünden S(2 + b) = S(b + 2)
• S(b + 2) ise “b + 2’nin bir sonrası”; bu da S(b) + 2 ile aynı yer

Yani b için yer değişiyorsa, bir sonraki için de yer değişir.

Taban tuttu. Adım tuttu. Her b için 2 + b = b + 2.

2 yerine başka bir a da olur. O halde her çift için a + b = b + a.

Öğreneceğin şey formül değil: 0’da tuttur, bir sonrakine taşı.

Birleşme de aynı ruh:

(a + b) + c = a + (b + c)

Üç yığını hangi sırayla birleştirirsen birleştir, miktar aynı. Bu yazıda bir yürüyüş yeter; ikincisini aynı yöntemle sen de kurabilirsin.

Bu iki özellik yüzünden 1 + 2 + 3 + 4 yazmak yasal hale gelir.

Toplama yapıyı değiştirmez, biriktirir

2 elma ile 3 elmayı birleştirince hâlâ elman vardır. Tür değişmez, miktar değişir.

Bu yüzden toplama ölçeklemez. Büyütmez, katlamaz. Sadece yan yana koyar.

İleride çarpma tam tersini yapacak. Orada yapı ölçeklenecek. Şimdilik tek boyutluyuz: bir çizgi üzerinde ileri yürümek.

Neden “daha fazla” yetmez?

“Toplamak = daha fazla” cümlesi gündelik hayatta yeter. Matematikte yetmez.

Çünkü “daha fazla” bir histir. a + 0 = a bir histen çıkmaz, tanımdan çıkar. S(a + b) bir histen çıkmaz, adımdan çıkar.

Okulda ezberlenen toplam tablosu, bu iki satırın önceden hesaplanmış hali. Tabloyu unutsan bile makine durmaz.

Küçük tuzak: “artı bir” ile ardıl aynı iştir

S(n) ile n + 1 aynı şeydir.

n + 1
= n + S(0)
= S(n + 0)
= S(n)

Yani “artı bir”, ardılın takma adıdır. 1’i özel bir cisim sanma. 1, 0’dan bir adım demektir. Toplamada “bir ekle” demek, “sonrakine geç” demektir.

Sen dene

İki satırlık tanımı kullanarak 1 + 2’yi aç. İpucu: 2 = S(1), 1 = S(0). Son satırda 3 görmelisin.

Son

Toplamak, varlığı yoktan var etmek değildir. Elimizde olanın üzerine, başka bir miktarın adımlarını yürümektir.

İki kural: bir şeye 0 eklemek onu olduğu yerde bırakır. bir sonrakini eklemek, ekledikten sonra bir adım daha atmaktır.

Sırada filmi geri sarmak var. O kadar masum durmayacak. Çünkü geri sarınca bazen başa çarpacağız. O çarpma, eksi sayıları doğuracak.