7. Bölmek Ne Demek?

Çarpma “kaç grup, grupta kaç” diye soruyordu.

Bölme o soruyu ters çevirir. İki kılıkta gelir, ikisi de aynı makine:

1. Paylaştırma. 12 elmayı 3 kişiye eşit böl. Herkese kaç?
2. Ölçme. 12’nin içinde 3 kaç kez var?

12 ÷ 3 = 4

Herkese 4. Ya da 3, 12’nin içinde 4 kez var. Aynı cümle.

Görsel olarak paylaştırma:

Tanım yine ters soru

Çıkarma toplamaya nasıl yaslandıysa, bölme de çarpmaya yaslanır.

a ÷ b = c   ancak ve ancak   a = b × c

b sıfır olamaz. Bunu birazdan ayrı işleyeceğiz. Şimdilik b ≠ 0.

12 ÷ 3 = 4 çünkü 3 × 4 = 12.

Başka ezber yok. Bölme, “neyi neyle çarparsam buna varırım?” sorusudur.

Doğal sayılarda kapı yine kapanır

11 ÷ 2 doğal sayıda yoktur. Çünkü hiçbir doğal c için 2 × c = 11 olmaz.

Okul bunu “kalanlı bölme” diye yamalar:

11 = 2 × 5 + 1

5 tam bölünür, 1 artar. Bu yama işe yarar. Ama “11 ÷ 2 bir doğal sayıdır” demez.

Cevabı sayı olarak istiyorsan evreni yine genişletirsin. 11/2 bir rasyoneldir.

Yani bölme, kesirleri zorunlu kılar. 5. yazıda kapıyı aralamıştık. Asıl gerekçe burada: çarpmanın tersi her zaman tam sayıda yaşamaz.

İki okuma, bir kesir

a/b yazısı tembel bir kısayol değildir. İki okumayı tek sembole sıkıştırır.

• 6/2 = 3 (tam bölündü)
• 1/2 (bir bütün, iki pay)

Pay a, payda b. Payda 0 olamaz.

Aynı sayı birçok kesirle yazılır: 1/2 = 2/4 = 3/6. Çarpraz çarpım eşitse kesirler denktir. Sadeleştirme, aynı sayının daha temiz adıdır.

1’e bölmek, kendine bölmek

a ÷ 1 = a
a ÷ a = 1    (a ≠ 0)

1 yine etkisiz. Çarpmada a × 1 = a, bölmede a ÷ 1 = a. Tutarlı.

Sıfıra bölmek neden yok?

Bu, internette en çok yanlış anlatılan yer. “Sonsuz olur” diyen de var, “tanımsız” deyip kaçan da.

Tanıma geri dön.

a ÷ 0 = c demek, a = 0 × c demektir.

0 × c her c için 0’dır. O halde:

• a sıfır değilse, a = 0 diye bir eşitlik istersin. Olmaz. Hiçbir c kurtarmaz.
• a da sıfırsa, 0 = 0 × c her c için doğrudur. O zaman her sayı cevap olur. Tek cevap yoktur.

Birinde sıfır cevap, diğerinde sonsuz cevap. İkisi de “şu sayı” diye işaret edilemez. O yüzden ÷ 0 tanımlamayız.

Kısa cümle: sıfıra bölmek, çarpmanın ters sorusunun cevapsız (ya da aşırı cevaplı) halidir. Cevap yoksa işlem de yoktur.

0’ı bölmek serbesttir

0 ÷ 5 = 0

çünkü 5 × 0 = 0.

Yasak olan 0’ı bölen yapmaktır, 0’ı bölünen yapmak değil.

Oran

Bölme sadece paylaşmak değildir. Karşılaştırmaktır.

20 km’yi 2 saatte gittiysen hızın 20/2 = 10 km/saat. “Bir saate düşen yol.”

Tarifte 3 su, 1 pirinç. Oran 3/1. İki katını yapacaksan iki tarafı da 2 ile çarparsın: 6 su, 2 pirinç. Kesir aynı kalır.

Negatif ve bölme (kısa)

İşaret çarpmadan gelir. Bölme çarpmanın tersi olduğu için fatura aynıdır.

(-12) ÷ 3 = -4
12 ÷ (-3) = -4
(-12) ÷ (-3) = 4

Gerekçe ezber değil: çarpma tablosunu geri okumak.

Dört işlem kapandı mı?

Doğal sayılarda değil. Rasyonelde, sıfıra bölme hariç, evet: topla, çıkar, çarp, böl (b ≠ 0).

Rasyonel sayılar bu dört işleme kapanır. Buna ileride cisim denecek.

Ama her soru burada bitmez. Kenarı 1 olan karenin çaprazı √2’dir; hiçbir a/b’ye eşit değildir. Reel sayılar kapıyı bekliyor. Üs, kök, sonsuz, limit… hepsi dört işlemin üzerine binecek.

Sen dene

15 ÷ 3 nedir, ve bunu hangi çarpma ile doğrularsın? Bonus: 7 ÷ 0 neden işlem bile değildir? (İki cümle yeter.)

Son

Bölmek yok etmek değildir. Eşit parçaya ayırmak, ya da bir uzunluğu başka bir uzunlukla ölçmektir.

Tanımı tek satır: çarpmayı geri sor.

Doğal sayıda her zaman cevap yoktur. Cevabı içeri almak kesri doğurur. Sıfıra bölmek cevabı doğurmaz, o yüzden işlem bile değildir.

Bu yedi yazıda elimizde artık şunlar var:

0 ve ardıl, toplama, çıkarma, sayı evreninin üç katmanı, çarpma, bölme.

Sırada bölmenin “temiz bitmediği” yer var. Kalan. Sonra kesir, üs, kök, ve rasyonelin tutmadığı uzunluklar.