1. Aksiyom Nedir?

Matematik çoğu insana okulda hazır kurallar yığını gibi gelir. Oysa her kural bir yerden başlar. Bu seri o başlangıçtan yürüyor. Matematik bilmene gerek yok. Sadece “neden böyle?” diye sorabilmen yeterli.

Neden bir yerden başlamak zorundayız?

Bir kelimeyi sözlükte aradığını düşün.

“Sayı nedir?” Cevap: “Miktarı gösteren şey.”

“Miktar nedir?” Cevap: “Ne kadar olduğunu gösteren ölçü.”

“Ölçü nedir?” Cevap: “Sayıyla ifade edilen…”

Döngüye girdin. Tanımsız kalan şeyi sonsuza kadar tanımlamaya çalışırsan hiçbir yere varamazsın.

Oyunlarda da aynı şey var. Satrançta “vezir neden çapraz gider?” diye sormazsın. Çünkü o, oyunun kabulüdür. O kabulü kabul etmezsen oyun kurulmaz.

Matematikte bu kabullere aksiyom denir.

Aksiyom, ispatlanan şey değildir. İspatın başladığı yerdir.

Aksiyom uydurma değildir

Kulağa “o zaman her şeyi aksiyom ilan ederim” gibi gelebilir. Öyle çalışmaz.

İyi bir aksiyom seti üç şeye benzer:

• Az sayıda olur. Her şeyi baştan kabul etmezsin.
• Birbiriyle çelişmez. Aynı anda hem “0 bir sayıdır” hem “0 bir sayı değildir” diyemezsin.
• Üzerine yeni şeyler kurmana izin verir. Yoksa ölü bir listedir.

Yani aksiyom tembellik değil, tasarruftur. En az kabulle en çok şeyi üretebilmek.

Sayıları nereden çıkaracağız?

Çoğu insan sayıyı elmayla öğrenir. Bir elma, iki elma, üç elma.

Bu sezgi güzeldir ama tehlikelidir. Çünkü elma bitince sayı da bitmiş gibi hissedersin. Oysa sayı elmanın kendisi değildir. Elmalar arasındaki “kaç tane” ilişkisidir.

Biz burada elmadan değil, daha çıplak bir şeyden başlayacağız: hiçlik ve sonraki.

Buna Peano aksiyomları denir. 19. yüzyılda Giuseppe Peano, doğal sayıları birkaç kurala indirgemiş. Okulda kimse anlatmaz. Anlatsalar da ezberletirler. Biz ezberlemiyoruz, kuruyoruz.

Bu seride doğal sayılara 0’ı da dahil ediyoruz:

ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}

Bazı kitaplar 1’den başlar. İkisi de olur; biz 0 ile kuruyoruz, çünkü “hiç”i de sayıya almak sonraki işlemleri temiz tutar.

Beş kabul

Şunları bir anlığına oyun kuralı gibi oku. Henüz toplama, çıkarma, çarpma yok. Sadece taşlar masada. Her kuralın yanında küçük bir örnek var; acele etme.

1. 0 bir doğal sayıdır

Başlangıç noktası vardır. Boşluk bile bir yerdir.

“Hiç elma yok” cümlesini sayıya çevirmek için 0 lazım. Yoksa “kaç?” sorusuna cevap yazamazsın.

2. Her doğal sayının bir ardılı vardır

Bir sayıdaysan, bir sonrakine geçebilirsin. Bunu S(n) diye yazacağız. S, successor: ardıl.

S(0) = 1
S(1) = 2
S(2) = 3

5 diye ayrı bir cisim yok. 5, sıfırdan beş kere “sonraki” demektir:

5 = S(S(S(S(S(0)))))

Küçük örnek: S(S(0)) nedir? İçten dışa: S(0)=1, sonra S(1)=2. Yani 2.

3. 0 hiçbir sayının ardılı değildir

Geriye doğru yürüyerek 0’ın öncesine inemezsin. 0, zincirin başıdır.

S(bir şey) = 0 diye bir denklem bu evrende çözülmez. Duvar oradadır.

4. Farklı sayıların ardılları farklıdır

S(a) = S(b) ise a = b olmak zorundadır.

Yani 7’ye giden tek bir yol vardır. Sayılar birbirinin üstüne binmez.

Küçük örnek: S(2) ile S(3) aynı olamaz. Biri 3, diğeri 4. Zincir çatallanmaz, birleşmez; düz bir hat gibi uzar.

5. Tümevarım (domino kuralı)

Bir özellik 0 için doğruysa, ve her n için doğru olduğunda S(n) için de doğruysa, o özellik bütün doğal sayılar için doğrudur.

Bu cümle soğuk duruyor. Önce kelimeyi açalım.

Tümevarım nedir?

Matematikte sık sık şunu söylemek istersin: “Bu, bütün doğal sayılar için doğru.”

Ama doğal sayı sonsuzdur. 0, 1, 2, 3… bitmez. Tek tek kontrol edemezsin. “1 milyon için baktım, yeter” de diyemezsin; bir sonraki sayı hep vardır.

Tümevarım, sonsuz listeyi mekanizmaya çevirme yöntemidir. İki kapı:

1. Başlangıçta doğru mu? (0 için)
2. Birinde doğruysa bir sonrakine taşınıyor mu? (n doğruysa S(n) de doğru mu?)

İkisi evetse zincir kopmaz. Bütün hat senin.

Kulağa hâlâ soyut geliyorsa domino diye düşün:

İlk taşı devirirsen (0), ve her taş bir sonrakini deviriyorsa (n → S(n)), sıra sonsuza kadar gider. Tek tek 1 milyon sayıyı kontrol etmene gerek yoktur. Mekanizma yeter.

Matematikteki yeri nedir?

Tümevarım “güzel bir hile” değildir. Doğal sayıların kendisinin parçasıdır.

Peano’nun beşinci kabulü şunu söyler: doğal sayılar sadece 0’dan ardıllarla üretilen şeylerdir. Arada “kaçak” sayı yoktur. O yüzden 0’da başlayıp her adımda taşıyabildiğin özellik, bütün sayılara yayılır.

Başka türlü düşün: bir özellik bazı sayılarda tutup bazılarında tutmuyorsa, “ilk bozulan” bir sayı olurdu. Ama 0’da tutuyor ve her doğru olandan bir sonrakine geçiyor. İlk bozulan yer yok. Hepsi tutar.

Bu yüzden okulda gördüğün “tümevarımla ispat” ile burada gördüğün “domino aksiyomu” aynı ailenin iki yüzüdür:

• Aksiyom: sayı hattı böyle kuruludur.
• İspat yöntemi: o hattın üzerinde “hepsi için” iddiasını taşıma biçimidir.

İleride toplama, çarpma, birçok “her n için …” cümlesi bu aletle yürür. Formül ezberi değil; sonsuzlukla konuşmanın kurallı yolu.

Bu yazıda aleti henüz bir eşitliğin üzerinde işletmiyoruz. Kelimeyi tanı, yerini bil. Toplama yazısında a + b = b + a gibi somut bir iddiada adım adım kullanacağız. Orada “taban” ve “adım”ı kendi elinle göreceksin.

Bu kadar mı? Evet.

Şu an elimizde şunlar var:

• Bir başlangıç: 0
• Bir hareket: “bir sonrakine geç”
• Bir güvence: bu hareket çakışmaz, 0’ın öncesi yoktur, zincir kopmaz

Toplama yok. Eksi yok. Kesir yok. Henüz “2 + 2 = 4” bile yok.

Ama “2 + 2 = 4” ileride buradan çıkacak. Dışarıdan ithal etmeyeceğiz.

Neden bu kadar inatçı bir başlangıç?

Çünkü “sayılar vardır, işlemler bellidir, ezberle” dersen, matematiği bir din gibi öğrenirsin. Kuralların sahibi sen olmazsın.

Aksiyomdan yürüyünce sahiplik değişir. 1’in ne olduğunu artık ezberlemiyorsun. 1, 0’ın ardılıdır. 2, 1’in ardılıdır. Bitti.

İleride negatif sayılar, kesirler, sonsuzluk, limit, hepsi bu inat yüzünden mümkün olacak. Bir şey tutmayınca evreni genişleteceğiz. Uydurarak değil, “eski kurallar yetmedi” diyerek.

Sen dene

S(S(S(0))) kaçtır? Cevabı yazmadan önce zinciri parmakla say: 0’dan üç adım.

Son

Aksiyom, matematiğin “inanç” kısmı değil. Konuşmaya başlamadan önce masaya koyduğun taşlardır.

Taşlar bunlar: 0 vardır, her sayının bir sonrası vardır, 0 kimsenin sonrası değildir, sonrakiler karışmaz, ve tümevarım (domino) çalışır.

Bir sonraki yazıda bu taşların en tuhafına bakacağız. Hiçbir şeyin adı olan, ama olmadan sayının da kurulamadığı şeye: sıfıra.